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四元数笔记

2025/8/23大约 14 分钟

四元数笔记

之前有一点复数基础，看了 3Blue1Brown 的四元数理解视频，但是还是没有完全理解四元数是怎么表示旋转的

在小豆发视频后，通过参考一篇知乎文章，加上自己的思考，终于大致理解了四元数的运作，可喜可贺可喜可贺

为此在这里把拼图大致总结一下，以表纪念

状态与作用

数字是一个状态，也能表示一个作用。能这么做的前提是有一个用单位作用表示的基准状态，在这里是 1

例如，当用一个数字去乘时

2表示将1放缩为原来的2倍

-1表示将1反转

0表示将1长度归零

1本身表示什么都不做

一个数的 n次方 表示做这个动作 n 次

0次方 表明做 0 次，也就是什么都不做，所以任意数的 0次方 都是 1

-1次方 是对应操作的逆，可以还原对应操作造成的影响

复数

我们定义一个新的作用 ii, 让 i2=−1i^2=-1

如果 −1-1 是将 11 反转 180 度，不妨认为，ii 的作用是将 11 旋转 90 度

我们不知道这个与实数轴垂直的方向在哪里，但是这不重要

以 {1,i}\{1, i\} 作为平面直角坐标系的标准正交基，坐标 (a,b)(a,b) 表示 a+iba+ib 作为一个向量，称为复平面

复数的线性组合

很显然的，数乘复数对应数乘向量，复数相加对应在复平面内将复数作为向量相加

因此复数可以像向量一样进行线性组合

若 a,b,ca,b,c 都是复数，(a+b)c(a+b)c 可以分解， a(b+c)a(b+c) 也可以分解

以基的视角来看，有两个互逆运算，假设这组向量作为列向量构成矩阵 AA

  • 对一组向量进行系数为 XX 的线性组合得到向量 VV，就是以基下的坐标 XX 绘制 VV
    • V=AXV=AX 求 VV
  • 分解 VV 得到关于一组向量的线性组合系数 XX，就是求 VV 在这个基下的坐标 XX
    • AX=VAX=V 或 X=A−1VX=A^{-1}V 求 XX
    • 特别地，若这组基是标准正交基，可以是 X=ATVX=A^{T}V 求 XX

例如，任何复数 a+iba+ib 都可以看作基向量 11 和 ii 的线性组合，其中 aa 和 bb 就是其在该基下的坐标

当我们考虑一个作用对于全体向量的影响时，只考虑它对基的影响，就能得到它对全体向量的影响，因为全体向量都是基的线性组合

i 的作用

ii 作用于基 {1,i}\{1, i\} 时让基逆时针旋转90度，成了 {i,−1}\{i, -1\}

因此它对于任意复数的作用是逆时针旋转90度

单位复数

纯旋转对应在单位圆上的复数 cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\theta，它将任意向量逆时针旋转 θ\theta

cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\theta 作用于 11，得到它本身，正是将 11 旋转 θ\theta 后的向量

cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\theta 作用于 ii，等于对 ii （90度）旋转 θ\theta 后的向量

我们不用去计算复杂的式子，只要意识到复数乘法是可交换的，作用于 ii 等价于被 ii 作用，于是等价于在旋转 θ\theta 基础上再加90度

由于任何复数都是 1 和 i 的线性组合，因此这个乘法将整个复平面上的点都旋转了 θ\theta。

但是它为什么能旋转？我们看看另一个角度

它对任意复数的作用可以分解为 cos⁡θ\cos\theta 和 isin⁡θi\sin\theta，分别对应“当前方向乘 cos⁡θ\cos\theta 的放缩”和“当前方向垂直方向上乘 sin⁡θ\sin\theta 的放缩”，而总影响是它们的组合，也就是旋转

重要的是，这个垂直方向由乘 ii 给出，告诉了我们要往哪个方向旋转

这个统一性来自于 ii 作用于基向量都是逆时针旋转90度，来自于 ii 正好是 11 逆时针旋转90度

任意复数

可以将任意复数 zz 的作用分解为放缩和旋转（记 erz=∣z∣e^{r_z}=|z|）

z=erz(cos⁡θz+isin⁡θz)=erz+iθzz=e^{r_z}(\cos\theta_z+i\sin\theta_z)=e^{r_z+i\theta_z}

于是可独立计算放缩和旋转，互不影响

zw=erz+iθzerw+iθw=e(rz+rw)+i(θz+θw)zw=e^{r_z+i\theta_z}e^{r_w+i\theta_w}=e^{(r_z+r_w)+i(\theta_z+\theta_w)}

很容易可以得出复数相乘等于分别计算其长度乘积和旋转之和

以基的视角，对基的影响就是对整个空间的影响，当我们考虑一个复数 zz 对任意复数的影响时，zz 左乘原本的基 {1,i}\{1, i\} 就得到了新的基 {z,iz}\{z, iz\}

好像将原本的 11 拉到了 zz，将 ii 拉到了 iziz，而整个空间都随之变换

四元数

复数的定义并没有限定虚数单位是唯一的，可以有许多个方向都与实数轴垂直

前人的努力表明，不能仅仅通过两个虚部来构建一个满足结合律、且能恰当表示旋转的代数系统，这个问题有严格证明，但是我不清楚也不关心这个问题

总之，当我们引入三个互相垂直的虚部 i,j,ki, j, k 并定义它们的乘法规则，这个系统才能够完备地表达三维旋转

定义

i2=j2=k2=ijk=−1i^2=j^2=k^2=ijk=-1

这包含了四元数的一切性质。我们能推导出四元数满足以下运算

ij=−ji=kjk=−kj=iki=−ik=j\begin{matrix}ij = -ji = k\\ jk = -kj = i\\ ki = -ik = j\end{matrix}

它不满足乘法交换律，左乘和右乘是不对称的、不可交换的

{1,i,j,k}\{1,i,j,k\} 相互垂直，构成四维空间，{i,j,k}\{i,j,k\} 按照右手标架组成三维空间，将实数轴隐藏起来，这是后面我们描述旋转的基础

四元数的线性组合

对四元数进行数乘和相加与复数情况类似，这意味着我们能将四元数像向量一样进行线性组合

但由于四元数不遵循交换律，我们接下来考虑作用时默认是左乘

i/j/k 的作用

由定义很容易看出 i/j/ki/j/k 对几个基的作用，于是左乘 i/j/ki/j/k 带来了如下的影响

  • 在 {1,i/j/k}\{1, i/j/k\} 平面内，按照 1→i/j/k1 \rightarrow i/j/k 旋转（90 度）
  • 在 ijkijk 空间内与 i/j/ki/j/k 相垂直平面内，按照右手定则旋转（90 度）

任意四元数都能投影分解到这两个平面，并受到对应的影响

就像复平面的单位圆旋转有一个方向 ii，四维空间的单位超球面旋转有3个方向 i/j/ki/j/k

单位向量

显然整个 ijkijk 空间都与 11 垂直。容易证明，ijkijk 单位球面上任意一点 hh 都有 h2=−1h^2=-1

hh 作用于 {1,h}\{1, h\} 得到 {h,−1}\{h, -1\}，左乘 hh 带来了如下影响

  • 在 {1,h}\{1, h\} 平面内，按照 1→h1 \rightarrow h 旋转（90 度）

第二个性质不是那么好证

  • 在 ijkijk 空间内与 hh 相垂直平面内，按照右手定则旋转（90 度）

我们证明一个更大的结论：

ijkijk 空间内的两个向量相乘，结果可以分解为实数加 ijkijk 空间内一点：

  • 在实数轴上是向量点乘的相反数
  • 在 ijkijk 空间内是向量叉乘

(iq1+jq2+kq3)(iu1+ju2+ku3)=(iiq1u1+jjq2u2+kkq3u3)+(jkq2u3+kjq3u2)+(ikq1u3+kiq3u1)+(ijq1u2+jiq2u1)=−(q1u1+q2u2+q3u3)+i∣q2q3u2u3∣−j∣q1q3u1u3∣+k∣q1q2u1u2∣=−(q1u1+q2u2+q3u3)+∣ijkq1q2q3u1u2u3∣\begin{align*} &(iq_1+jq_2+kq_3)(iu_1+ju_2+ku_3)\\ =&(iiq_1u_1+jjq_2u_2+kkq_3u_3)\\ &+(jkq_2u_3+kjq_3u_2)+(ikq_1u_3+kiq_3u_1)+(ijq_1u_2+jiq_2u_1)\\ =&-(q_1u_1+q_2u_2+q_3u_3)\\ &+i\begin{vmatrix}q_2&q_3\\u_2&u_3\end{vmatrix}-j\begin{vmatrix}q_1&q_3\\u_1&u_3\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}q_1&q_2\\u_1&u_2\end{vmatrix}\\ =&-(q_1u_1+q_2u_2+q_3u_3)+\begin{vmatrix}i&j&k\\q_1&q_2&q_3\\u_1&u_2&u_3\end{vmatrix} \end{align*}

因此 h2=−1h^2=-1，因为单位向量与自己点乘为 11，叉乘为 00

hh 作用于 ijkijk 空间内与 hh 相垂直平面的基 {f,g}\{f, g\}，得到的点乘为 00，叉乘满足右手定则于是旋转90度，证明了结论。

这定义了单位超球面往任意一个方向 hh 旋转90度对应的作用

单位四元数

于是我们可以定义单位超球面上的四元数 q=cos⁡θ+hsin⁡θq=\cos\theta+h\sin\theta

这定义了单位超球面往任意一个方向 hh 旋转 θ\theta 对应的作用

  • 在 {1,h}\{1, h\} 平面内，按照 1→h1 \rightarrow h 旋转 θ\theta
  • 在 ijkijk 空间内与 hh 相垂直平面内，按照右手定则旋转 θ\theta

任意四元数都能投影分解到这两个平面，并受到对应的影响

表现就是，一方面在 ijkijk 空间内绕 hh 旋转，另一方面关于 {1,h}\{1, h\} 在虚实之间旋转，影响实部和 hh 方向虚部的比例

这就是四维双旋转

球极投影

我们需要将四元数应用于旋转，其放缩作用是多余的。因此只考虑单位超球面，它的维度是3，而可以映射到三维空间内

3Blue1Brown 使用了一种形象的方式进行这个映射，以帮助理解四维双旋转

怎么做呢？将四维空间想象成三维的，竖轴是实数轴，“水平面”对应目标空间，那么四维超球面对应“单位球面”，目标空间内单位球面对应“平面”上“单位圆”，正上方是 11，正下方是 −1-1，怎么将“单位球面”投影到“水平面”上实现这样的目的呢：

单位球面与 ijkijk 空间的单位球面相同，11 映射到原点，−1-1 映射到无穷远处，三维空间一点可以表示单位超球面上的任意四元数（−1-1除外）

这样：连接 −1-1 与超球面上的四元数，这个连线（以及其延长线）与“平面”的交点就是其投影位置，这就是 3Blue1Brown 所使用的投影方式

00 不在这个投影空间内，原点是 11 表示不变，而空间中任意一点与原点的距离都相等，就像一个开了 360360 度广角的屏幕，只是这个屏幕是三维空间

注意到，你从 −1-1 看向 11，单位球面的位置与你的视线垂直

空间内的点与 q=cos⁡θ+hsin⁡θq=\cos\theta+h\sin\theta 对应， hh 在单位球面上，只有这个位置没有任何扭曲，向内对应前半球延伸到原点 11，而向外对应后半球延伸到无穷远处 −1-1

qq 的作用是对一个四维超球的刚体旋转，其球面的旋转有三个自由度，从原点指向外面所有方向

当 qq 作用于整个空间，相当于四维超球面向着一个唯一方向 hh 进行了一个整体旋转，11 移动到 qq，投影空间内所有点都会跟着变化

很显然离原点的距离与旋转程度正相关（准确来说距离 r=tan⁡(θ/2)r=\tan(\theta/2)）。且关于原点对称的点互为逆

6个点标注了三维球面的旋转，而加上原点和无穷远点，8个点标注了四维超球面的旋转

3个相互垂直的圆划分了三维球面，在二维被投影为三个相互垂直的直线和圆，在四维超球面这里被投影为四个相互垂直的球面和平面

如同三维球绕旋转轴旋转，交球面于两点，这两点不动；四维球绕 ijkijk 空间内与 hh 垂直的“旋转面”旋转，交超球面于一个圆，不同的是这个圆是一起旋转的

可以看到原点和无穷远点与单位球面垂直，单位球面上的点与其过原点的法平面垂直，当其向外移动时，会从原点“拉扯”这个平面，以其法平面与球面相交的圆为界，内部被拉扯而外部远离，当其移动到无穷远点时便重新拉扯到了单位球面

任意四元数

就像任意复数分解到实数轴和虚数轴一样，我们可以将任意四元数分解为标量和向量，即 q=q0+hqhq = q_0+hq_h，其中 hh 为方向(单位向量)，qhq_h 为长度

更一般地，可以将任意四元数 qq 的作用分解为放缩和旋转

q=∣q∣(cos⁡θq+hsin⁡θq)q=|q|(\cos\theta_q+h\sin\theta_q)

由于数乘和四元数总是可交换的，于是可以将数乘都放到一起计算，这也验证了四元数乘法模长守恒

qu=∣q∣(cos⁡θq+hsin⁡θq)∣u∣(cos⁡θu+gsin⁡θu)=∣q∣∣u∣(cos⁡θq+hsin⁡θq)(cos⁡θu+gsin⁡θu)\begin{align*} qu=&|q|(\cos\theta_q+h\sin\theta_q)|u|(\cos\theta_u+g\sin\theta_u)\\ =&|q||u|(\cos\theta_q+h\sin\theta_q)(\cos\theta_u+g\sin\theta_u) \end{align*}

取反、共轭、逆、右乘

关于如何取反，有几个容易混淆的操作需要区分

相反数

完全取反意味着相反数，这是最直观的取反（−q-q）

我们将取反也视为一个作用，相反数与原四元数数在四维空间关于原点对称，那么其作用结果相比原作用结果也在四维空间关于原点对称

(−q)u=−(qu)(-q)u = -(qu)

实部会反向，虚部也会反向，于是 {1,h}\{1, h\} 旋转和虚空间旋转都在原来的基础上增加180度

−∣h∣(cos⁡θ+hsin⁡θ)=∣h∣(cos⁡(θ+π)+hsin⁡(θ+π))-|h|(\cos\theta+h\sin\theta) = |h|(\cos(\theta+\pi)+h\sin(\theta+\pi))

另外，可以注意到取反与四元数是可交换的，先取反再作用与先作用再取反等价

q(−u)=(−q)uq(-u) = (-q)u

共轭

只取反虚部被定义为共轭（q∗q^*）

四元数与其共轭在 ijkijk 空间内的分量关于原点对称

共轭不改变角度大小，具体来说，意味着角度取反

∣h∣(cos⁡θ−hsin⁡θ)=∣h∣(cos⁡(−θ)+hsin⁡(−θ))|h|(\cos\theta-h\sin\theta) = |h|(\cos(-\theta)+h\sin(-\theta))

于是对于单位四元数（纯旋转）有：

q−1=q∗q^{-1}=q^*

而对于一般四元数，只是将旋转取逆，而放缩不变，因此

q∗q=∣q∣2q^*q=|q|^2

逆

四元数的逆意味着能还原它造成的影响（q−1q^{-1}）

不仅反向旋转，也反向放缩

即

q−1q=1q^{-1}q = 1

于是

q∗q=∣q∣2=∣q∣2q−1qq^*q=|q|^2=|q|^2q^{-1}q

便得到了

q−1=q∗∣q∣2q^{-1} = \frac{q^*}{|q|^2}

右乘

由 hh 对虚部的作用可以看出：实部是点乘，满足交换律；而虚部是叉乘，交换时反号

这是唯一不遵循交换律的地方，导致了右乘 hh 时

  • 在 {1,h}\{1, h\} 平面内的四元数，按照 1→h1 \rightarrow h 旋转（90 度）（与左乘一致）
  • 在 ijkijk 空间内与 hh 相垂直平面内的四元数，按照右手定则反向旋转（90 度）

继而导致了右乘单位四元数 cos⁡θ+hsin⁡θ\cos\theta+h\sin\theta 时

  • 在 {1,h}\{1, h\} 平面内的四元数，按照 1→h1 \rightarrow h 旋转 θ\theta（与左乘一致）
  • 在 ijkijk 空间内与 hh 相垂直平面内的四元数，按照右手定则反向旋转 θ\theta

于是便能推广到任意四元数，得到结论

右乘和左乘任意四元数的唯一区别在于，会反向虚空间内的旋转

至此，我们得到了它们的关系

  • 相反数只是单纯的取反，且满足交换律
  • 取逆会反转放缩和旋转
  • 共轭只反转旋转，包括 {1,h}\{1, h\} 和虚空间
  • 右乘只反转虚空间旋转

四元数旋转

对于四元数表示的旋转，我们要旋转的目标向量是实部为 00，在 ijkijk 空间上的向量 uu

但我们遇到一个难题：左乘一个单位四元数 q=cos⁡θ+hsin⁡θq=\cos\theta+h\sin\theta，确实包含了我们想要的旋转，但它还包含了一个 {1,h}\{1, h\} 上的旋转，这将向量带离了虚空间

但我们只想旋转三维向量部分，需要其实部保持为 00。如何才能将其效果锁定在三维空间呢？

我们右乘一个逆，这产生了另一个相反的双旋转，在 {1,h}\{1, h\} 上反向而刚好抵消，在虚空间上的旋转负负得正，二倍了原本的旋转

于是我们得到了纯的旋转，这就是四元数的旋转公式

quq−1,q=cosθ+hsinθquq^{-1}, q=cos\theta+hsin\theta

表示让 uu 绕 hh 按右手定则旋转 2θ2\theta

根据这个定义我们还能推出一些扩展结论

  • 任意长度的四元数对应的旋转都相同，因为取逆抵消了放缩
  • 四元数取反对应的旋转相同，因为取反会相互抵消（负负得正）

参考资料

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