多重积分

柱坐标系与球坐标系

柱坐标系

$$\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z \end{cases}$$

球坐标系

$$\begin{cases} x = r \sin \varphi \cos \theta \\ y = r \sin \varphi \sin \theta \\ z = r \cos \varphi \end{cases}$$

注意

数学与物理的 $\theta$ 与 $\varphi$ 是反过来的

按照国际标准化组织建立的约定（ISO 31-11），球坐标标记为 $(r,\ \theta ,\ \varphi )$，其中r代表径向距离，$\theta$ 代表极角，$\varphi$ 代表方位角，极角也称为倾斜（inclination）角、法线角或天顶（zenith）角。

但是数学上，为了与柱坐标系兼容，$\varphi$ 代表极角，$\theta$ 代表方位角

• http://www.shuxueji.com/w/20490

雅可比矩阵（Jacobian Matrix）

对于一些柱体、锥体、球体求积分时，往往转换为对应的坐标系进行求解

如果直接代入对应坐标系，将会引起拉伸导致积分值不同

此时需要乘以雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的行列式抵消这一变化

对于从柱坐标系和球坐标系到空间直角坐标系的行列式，有

柱坐标系：

$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r\cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = r$$

球坐标系：

$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sin \varphi \cos \theta & -r\sin \varphi \sin \theta & r\cos \varphi \cos \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & r\sin \varphi \cos \theta & r\cos \varphi \sin \theta \\ \cos \varphi & 0 & -r\sin \varphi \end{vmatrix} = r^2\sin \varphi$$

所以有：

• 柱坐标系：$dx\,dy\,dz = |J|\,dr\,d\theta\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz$
• 球坐标系：$dx\,dy\,dz = |J|\,dr\,d\theta\,d\varphi = r^2\sin \varphi\,dr\,d\theta\,d\varphi$

雅可比行列式为什么是这样

雅可比行列式代表 $(x,y,z)$ 下体积微元——三个向量 $(dr,d\theta,d\varphi)$ 围成的平行六面体的体积

众所周知，这就是行列式的含义： $|\mathbf{r}_r\,\mathbf{r}_\theta\,\mathbf{r}_\varphi|$ （也可以写成 $|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\,\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\,\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}|$ ） 展开就是雅可比行列式

其中 $\mathbf{r}$ 表示 $(x,y,z)$ 中的一点

$$\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(r,\theta,\varphi) \\ y(r,\theta,\varphi) \\ z(r,\theta,\varphi) \end{pmatrix}$$

三角函数积分

对于 $\cos^n \theta$ 和 $\sin^n \theta$

当 $n=1$ 时，使用基本的积分公式

$$\int \cos \theta \, d\theta = \sin \theta + C\\ \int \sin \theta \, d\theta = -\cos \theta + C$$

当 $n$ 为奇数时，使用三角恒等式展开一个

例：

$$\int \sin^3 \theta \, d\theta = \int \sin^2 \theta \sin \theta \, d\theta = \int (1 - \cos^2 \theta) \sin \theta \, d\theta$$

然后令 $u = \cos \theta$，则 $du = -\sin \theta d\theta$

变为幂函数积分解决问题

当 $n$ 为偶数时，使用幂减公式化简到奇数解决问题

例如，计算 $\int \cos^4 \theta \, d\theta$

对于 $\cos^4 \theta$，应用幂减法

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\\ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$

例：

$$\cos^4 \theta = \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos(2\theta) + \cos^2(2\theta)) \\ = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos(2\theta) + \frac{1 + \cos(4\theta)}{2}\right)$$

于是：

$$\int \cos^4 \theta \, d\theta = \frac{1}{4} \int (1 + 2\cos(2\theta) + \frac{1 + \cos(4\theta)}{2}) \, d\theta$$

曲线积分和曲面积分（标量场）

这又称为第一类曲线积分和第一类曲面积分

曲线积分往往拆成好几段加起来算

基本采用参数方程的形式（广义上的转换坐标系）求解：转换为 $t$ / $u,v$ ，投影或者极坐标

所以还是可以使用雅可比矩阵（雾）

曲线积分

这个是雅可比矩阵的拓展（？）

用 $t$ 表示曲线上一点时，$(x,y,z)$ 下曲线微元的大小——$dt$的长度

有 $ds = ||\mathbf{r}_t||dt$

其中 $\mathbf{r}$ 表示 $(x,y,z)$ 中的一点

$$\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$$

曲面积分

这个是雅可比矩阵的拓展

用 $(u,v)$ 表示曲面上一点时，$(x,y,z)$ 下面积微元的大小——两个向量 $(du,dv)$ 围成的平行四边形的面积

有 $dx\,dy\,dz=|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|\,du\,dv$

其中 $\mathbf{r}$ 表示 $(x,y,z)$ 中的一点

$$\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix}$$

曲线积分和曲面积分（向量场）

这又称为第二类曲线积分和第二类曲面积分

不能直接用雅可比矩阵的思路去解决（但是可以间接）

曲线积分

对于曲线积分

$$\int_C Pdx+Qdy+Rdz = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{r}_tdt$$

用 $t$ 表示曲线上一点时，$(x,y,z)$ 下曲线微元的大小——$\mathbf{r}_t$ 需要与 $\mathbf{F}$ 点积得到值： $\mathbf{r}_t\cdot\mathbf{F}$

其中 $\mathbf{r}$ 表示 $(x,y,z)$ 中的一点，$\mathbf{F}$ 表示向量场

$$\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{F}=\begin{pmatrix} P(x,y,z) \\ Q(x,y,z) \\ R(x,y,z) \end{pmatrix}$$

对于曲线积分

$$\int_C Pdx+Qdy = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{r}_tdt$$

有额外的方式：用格林公式（Green formula）

$$\int_C Pdx+Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

它本质是将环量的计算转换为旋度的积分，要求面积在曲线方向的左侧

在二维空间旋度的正方向是逆时针

这意味着，随着x的增长($\partial x$)，y增加($\partial Q$)的程度和随着y的增长($\partial y$)，x减少的程度($-\partial P$)

这是二维旋度的本质，也可以用于记忆符号

曲面积分

对于曲面积分

$$\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy = \iint_\Sigma \mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)dudv$$

用 $(u,v)$ 表示曲面上一点时，$(x,y,z)$ 下面积微元的大小——$\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v$需要与 $\mathbf{F}$ 点积得到值： $\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)$

其中 $\mathbf{r}$ 表示 $(x,y,z)$ 中的一点，$\mathbf{F}$ 表示向量场

$$\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{F}=\begin{pmatrix} P(x,y,z) \\ Q(x,y,z) \\ R(x,y,z) \end{pmatrix}$$

有额外的方式：用高斯公式（Gauss formula）

$$\iint_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz$$

它本质是将通量的计算转换为散度的积分，要求法向量 $\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v$ 朝向曲面外侧

这意味着随着某方向的增加，这个方向向量场增加的程度，这也是散度的本质