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雅可比矩阵

2025/6/5大约 3 分钟

雅可比矩阵

雅可比矩阵是多元微积分中的重要概念，表示由向量值函数的所有一阶偏导数组成的矩阵。

定义

对于函数 f:Rn→Rm\mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m，其雅可比矩阵 JJ 是一个 m×nm \times n 的矩阵，表示为：

J=(∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fm∂x1⋯∂fm∂xn)J = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}

或者

Jij=∂fi∂xjJ_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}

函数不是标量函数，即 m>1m>1 时也可以写成向量梯度

(∇f)ij=∂fi∂xj=Jij(\nabla \mathbf{f})_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j} = J_{ij}

性质

坐标变换

设有两个坐标系 XX 和 YY，一个点在两个坐标系中分别有坐标 (x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \ldots, x_n) 和 (y1,y2,…,yn)(y_1, y_2, \ldots, y_n)。

此时，坐标变换可以表示为函数：yi=fi(x1,x2,…,xn)y_i = f_i(x_1, x_2, \ldots, x_n)

基向量变换之间的雅可比矩阵 JJ 定义为：

Jij=∂yi∂xjJ_{ij} = \frac{\partial y_i}{\partial x_j}

局部坐标系

在微分几何中，我们常需要在流形上建立局部坐标系。

假设 YY 是全局坐标系，XX 是流形上的坐标系

对于任意一点，

雅可比行列式在积分中的作用

雅可比行列式（雅可比矩阵的行列式），记为 det⁡J\det J 或 ∣J∣|J|，在坐标变换下的积分计算中起着关键作用。

当我们从一个坐标系变换到另一个坐标系时，积分区域和积分元也会发生相应变化。具体地，若要计算积分：

∫Ωf(y1,y2,…,yn)dy1dy2…dyn\int_{\Omega} f(y_1, y_2, \ldots, y_n) dy_1 dy_2 \ldots dy_n

通过变换 yi=gi(x1,x2,…,xn)y_i = g_i(x_1, x_2, \ldots, x_n)，转换为：

∫g−1(Ω)f(g(x1,x2,…,xn))⋅∣det⁡J∣dx1dx2…dxn\int_{g^{-1}(\Omega)} f(g(x_1, x_2, \ldots, x_n)) \cdot |\det J| dx_1 dx_2 \ldots dx_n

其中，∣det⁡J∣|\det J| 是雅可比行列式的绝对值，表示在坐标变换下体积元的变化比例。雅可比行列式实质上描述了坐标变换引起的"体积变形因子"。

在多重积分、曲线积分、曲面积分等各类积分中，雅可比行列式都起着至关重要的作用，特别是在变量替换和坐标变换技术中。

  1. 行列式 ∣J∣|J| 称为雅可比行列式，表示局部变换的体积缩放因子

  2. 当 m=nm=n 时，若雅可比行列式非零，函数在该点局部可逆

雅可比行列式

对于一些柱体、锥体、球体求积分时，往往转换为对应的坐标系进行求解

如果将函数直接代入对应坐标系，将会引起拉伸导致积分值不同

此时需要乘以雅可比行列式抵消这一变化

对于从柱坐标系和球坐标系到空间直角坐标系的行列式，有

柱坐标系：

J=∣∂x∂r∂x∂θ∂x∂z∂y∂r∂y∂θ∂y∂z∂z∂r∂z∂θ∂z∂z∣=∣cos⁡θ−rsin⁡θ0sin⁡θrcos⁡θ0001∣=rJ = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r\cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = r

球坐标系：

J=∣∂x∂r∂x∂θ∂x∂φ∂y∂r∂y∂θ∂y∂φ∂z∂r∂z∂θ∂z∂φ∣=∣sin⁡φcos⁡θ−rsin⁡φsin⁡θrcos⁡φcos⁡θsin⁡φsin⁡θrsin⁡φcos⁡θrcos⁡φsin⁡θcos⁡φ0−rsin⁡φ∣=r2sin⁡φJ = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sin \varphi \cos \theta & -r\sin \varphi \sin \theta & r\cos \varphi \cos \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & r\sin \varphi \cos \theta & r\cos \varphi \sin \theta \\ \cos \varphi & 0 & -r\sin \varphi \end{vmatrix} = r^2\sin \varphi

所以有：

  • 柱坐标系：dx dy dz=∣J∣ dr dθ dz=r dr dθ dzdx\,dy\,dz = |J|\,dr\,d\theta\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz
  • 球坐标系：dx dy dz=∣J∣ dr dθ dφ=r2sin⁡φ dr dθ dφdx\,dy\,dz = |J|\,dr\,d\theta\,d\varphi = r^2\sin \varphi\,dr\,d\theta\,d\varphi

雅可比行列式为什么是这样

雅可比行列式代表 (x,y,z)(x,y,z) 下体积微元——三个向量 (dr,dθ,dφ)(dr,d\theta,d\varphi) 围成的平行六面体的体积

众所周知，这就是行列式的含义： ∣rr rθ rφ∣|\mathbf{r}_r\,\mathbf{r}_\theta\,\mathbf{r}_\varphi| （也可以写成 ∣∂r∂r ∂r∂θ ∂r∂φ∣|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial r}\,\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\,\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}| ） 展开就是雅可比行列式

其中 r\mathbf{r} 表示 (x,y,z)(x,y,z) 中的一点

r=(x(r,θ,φ)y(r,θ,φ)z(r,θ,φ))\mathbf{r}=\begin{pmatrix} x(r,\theta,\varphi) \\ y(r,\theta,\varphi) \\ z(r,\theta,\varphi) \end{pmatrix}

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