上标与下标的区别

在张量分析和微分几何中，上标和下标代表着根本性的数学和物理含义，而不仅仅是记号上的差异。

协变与逆变分量

• 上标 (逆变分量)：表示为 $v^i$

  • 在基矢变换下表现为逆变变换，即基向量变大时它的值变小
  • 度量张量收缩时变换方向与基矢相反

• 下标 (协变分量)：表示为 $v_i$

  • 在基矢变换下表现为协变变换，即基向量变大时它的值变大
  • 度量张量收缩时变换方向与基矢相同

转换方式

度量张量 $g_{ij}$ 和其逆 $g^{ij}$ 可以用来提升或降低指标：

• 指标提升：$v^i = g^{ij}v_j$
• 指标降低：$v_i = g_{ij}v^j$

应用场景

在欧几里得空间中，度量张量是单位矩阵，因此上下标没什么区别，可以自由转换：

$$g_{ij} = \delta_{ij} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

但是在非欧空间里，依赖度量张量作为桥梁进行内积，向量不能直接点乘

$$g(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = g_{ij}u^iv^j$$

此时上下标的严格区分保证了向量内积正确进行，因为向量标注在上面，不能直接乘，那么度量张量就隐含了它能且仅能乘起来两个向量

同时也解决了爱因斯坦求和约定中需要上下标配对的问题（x）